Logo Международный форум «Евразийская экономическая перспектива»
На главную страницу
Новости
Информация о журнале
О главном редакторе
Подписка
Контакты
ЕВРАЗИЙСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ English
Тематика журнала
Текущий номер
Анонс
Список номеров
Найти
Редакционный совет
Редакционная коллегия
Представи- тельства журнала
Правила направления, рецензирования и опубликования
Научные дискуссии
Семинары, конференции
 
 
 
 
Проблемы современной экономики, N 4 (36), 2010
ЭКОНОМИКА, УПРАВЛЕНИЕ И УЧЕТ НА ПРЕДПРИЯТИИ
Гришанов Д. Г.
доцент кафедры математических методов в экономике Самарского государственного аэрокосмического университета,
кандидат экономических наук

Кирилина С. А.
начальник финансового управления ФГУП ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (г. Самара),
докторант Самарского государственного аэрокосмического университета,
кандидат экономических наук

Наумов К. В.
первый заместитель генерального директора по экономике и финансам ФГУП ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (г. Самара),
кандидат экономических наук

Щелоков Д. А.
ассистент кафедры экономики Самарского государственного аэрокосмического университета,
кандидат экономических наук


Модель оптимизации объема затрат при производстве сложных изделий
В статье изложен авторский подход к постановке задачи оптимизации объема затрат на производство сборочной единицы. Используется симплекс-метод решения задачи оптимизации
Ключевые слова: математическая модель, задача принятия решений, прибыль, себестоимость, производственные ресурсы

Рассмотрим задачу принятия решения предприятием, осуществляющим производство ракетоносителей. При производстве сложного изделия предприятие выполняет различные виды механических, слесарно-сборочных, монтажных операций, связанных с изготовлением сборочных комплектов и готовой сборочной единицы.
К числу особенностей производства таких изделий относятся: необходимость тесной увязки изготовления и выпуска изделий с конструкторско-технологической подготовкой производства по каждому заказу; cложность распределения всех процессов во времени и пространстве с обеспечением выполнения каждого заказа в установленный срок при наиболее полной загрузке всех рабочих мест; отсутствие в момент формирования планов производства необходимых норм (норм времени, расхода материалов, денежных средств и др.); длительный производственный цикл изготовления и сборки изделий [1].
Предположим, что предприятие в своей деятельности использует три вида ресурсов [2]: материалы, оборудование и труд. К материальным ресурсам относятся материалы, детали, топливо, энергия, пар, вода и другие. Потребность в материальных ресурсах устанавливается по всем видам применяемых материалов на основе физических объемов работ и норм расходов ресурсов на единицу сборочной единицы (комплекта), выпускаемой в соответствии с конструкторско-проектной документацией [3].
Задача предприятия состоит в определении при заданном заказе на производство изделий, заданной его договорной цене такого объема затрат на производство каждой сборочной единицы, чтобы обеспечить максимальное значение целевой функции [4]. Для решения этой задачи сформируем модель задачи принятия решений предприятием относительно объемов затрат на производство сборочных изделий, состоящих из моделей целевой функции и моделей ограничений [5].
В качестве целевой функции или экономическим интересом в реализации сформулированной задачи примем прибыль, остающуюся в распоряжении предприятия. Величина этой прибыли зависит от уровней цен ресурсов, договорной цены на изделие, норм расхода ресурсов при выполнении различных работ.
Сформируем модель целевой функции предприятия, характеризующей величину операционного дохода получаемого им при выпуске изделий. Для этого введем следующие обозначения:
Цд — договорная цена одного изделия (заказа); у — количест­во изделий (заказов); хj — количество сборочных единиц j-го вида; λj — применяемость сборочных единиц j-го вида в изделии; mij — норма расхода i-го вида материала на одну сборочную единицу j-го вида; rkj — норма затрат времени на эксплуатацию оборудования (агрегатов, станков) k-й группы на сборочную единицу j-го вида; tsj — норма затрат времени трудовых ресурсов s-го вида на сборочную единицу j-го вида; Цi — цена единицы i-го вида материального ресурса; Цk — цена машино-часа k-го вида оборудования; Цs — цена человеко-часа s-го вида трудовых ресурсов; I — множество индексов материалов; J — множество видов сборочных единиц (комплектов); K — множество видов оборудования; S — множество видов трудовых ресурсов; Mi — объем материалов i-го вида (i ∈ I); Rk — фонд времени эксплуатации оборудования k-й группы; Ts — фонд времени работы рабочих s-й профессии; Сj — себестоимость сборочной единицы j-го вида;
С учетом введенных обозначений уравнение для операционного дохода примет следующий вид:
представляет прямые или переменные затраты, обусловленные производством сборочных единиц в количестве xj, j ∈ J, а величина Зпос характеризует косвенные расходы предприятия.
В сумме прямые затраты, определяемые в соответствии с (2), и косвенные расходы образуют себестоимость при производстве сборочных единиц величине
При заданной договорной цене на изделие и установившихся рыночных ценах на материалы, эксплуатацию оборудования, трудовые ресурсы предприятие стремится выполнить заказ по всей номенклатуре в полном объеме. Однако выполнение заказа предприятием определяется не только его целевой функцией, но и ограничениями на имеющиеся материальные, трудовые, финансовые ресурсы.
Сформируем модель ограничений, которые должно учитывать предприятие в задаче принятия решений по реализации заказа. Модель ограничений включает в себя условие, состоящее в том, что вся номенклатура сборочных единиц должна быть выполнена в полном объеме и в точном соответствии с конструкторским проектом. Выполнение этого условия позволяет предприятию осуществить производство в соответствии с заданными конструкторским проектом параметрами и реализовать изделие заказчику.
Математическая запись условия точного выполнения количества сборочных единиц (комплектов) в соответствии с конструкторским проектом представим в виде:
Параметры λj,j ∈ J, связывающие количество сборочных комплектов, определяются из проекта на основе конструкции изделия.
Рис. 1. Нелинейная зависимость между количеством сборочных единиц
Так как используемые в ходе производства ресурсы ограничены, модель ограничения по материалам, времени эксплуатации оборудования, времени работы рабочих, которые должно учитывать предприятие, может быть записана в следующем виде:
по материалам, энергетическим ресурсам,
В неравенствах (7)–(9) величины Mi, Rk, Ts, — имеющиеся в наличии у предприятия, соответственно, количество материалов i-го вида, фонд времени эксплуатации оборудования k-й группы, фонд времени работы рабочих s-й профессий. Левая часть неравенств (7)–(9) представляет собой затраты в натуральном выражении материалов, оборудования и рабочих, расходуемых в процессе производства изделия. Следовательно, если неравенства (7)–(9) выполняются, то это означает, что ресурсы у предприятия имеются в достаточном количестве, чтобы выпустить все сборочные единицы в количестве xj,j ∈ J.
Модель системы ограничений (7)–(9) является статической, в которой фактор времени явно не учитывается, однако косвенно его включение является возможным посредством учета различий в скорости изменения различных затрат при производстве изделия. В экономике принято различать три периода. Первый период, в котором все затраты на производство рассматриваются как постоянные, называют мгновенным. Второй период, в котором одна группа затрат рассматривается как постоянная, а другая как переменная, называют коротким; Третий, в котором все затраты на производство рассматриваются как переменные, называется длительным периодом.
Будем для определенности в дальнейшем в качестве длительности периода рассматривать год как короткий период и измерять объемы производства, количество изделий, затраты за один год. В связи с этим затраты на ресурсы будем относить к переменным.
Построим график области допустимых решений, описываемой системой неравенств (7)–(9). Для этого предположим, что номенклатура сборочных единиц состоит из двух видов, при этом используется один вид материалов, один вид оборудования и одна профессия строительных рабочих. Тогда в пространстве двух сборочных единиц область допустимых решений, описываемую системой неравенств (10), можно представить на рис. 3.
В системе неравенств (9) M, R, T — исходные объемы материалов, фонда времени эксплуатации оборудования и фонда времени работы рабочих, соответственно; m1, m2, r1, r2, t1, t2 — нормативы расходов ресурсов на сборочную единицу первого и второго видов.
Область допустимых решений ограничена прямыми t1x1 + t2X2 = T, m1x2 + m2x2 = M и осями x1,x2. Любой точке в этой области соответствует определенное количество единиц 1-го и 2-го видов, которые предприятием могут быть выполнены, так как эти работы обеспечены всеми ресурсами.
Система неравенств (7)–(9) в совокупности описывает модель ограничений в задаче принятия предприятием решений по производству единиц на основании имеющихся ресурсов. Эта модель ограничений имеет следующий вид:
Система (11) описывает допустимые множества принимаемых предприятием решений по выпуску сборочных единиц. При этом учитываются возможности только по ресурсам.
Рис. 2. Нелинейная зависимость между количеством сборочных единиц
На рис. 2 построены прямые, соответствующие уравнениям:
m1x1 | m2x2 = M
r1x1 | r2x2 = N
t1x1 | t2x2 = T.
Графическое изображение допустимого множества решений, принимаемых предприятием, для двух видов сборочных единиц представлено на рис. 3. Допустимым решением является любая точка на отрезке луча ОА, так как позволяет предприятию выпустить сборочные единицы в нужном количестве и реализовать изделие заказчику. Любой точке вне отрезка ОА, например, точке А1 соответствует количество сборочных единиц, которые не могут быть выполнены, так как не обеспечены ресурсами.
Рис. 3. Допустимое множество решений для двух видов сборочных единиц
Допустимое множество принимаемых предприятием решений, описываемое системой ограничений (11), не учитывает один из важных ресурсов — финансовый ресурс, от получения которого зависят сроки, объемы и качество выпускаемой продукции. В этой связи ограничение на финансовые ресурсы предприятию необходимо учитывать в задаче принятия решений.
Из уравнения (5) следует, что для осуществления выпуска сборочных единиц необходимо, чтобы целевая функция не была величиной отрицательной, т. е. при реализации изделия должно выполняться следующее неравенство:
Обозначим разность между количеством реализованных изделий и накладными расходами через C. Тогда неравенство (12) примет вид:
Графическое изображение допустимого множества с учетом финансовых и материальных ресурсов в предположении, что номенклатура сборочных единиц, выполняемых предприятием, состоит из двух наименований, представлено на рис. 4.
Рис. 4. Допустимое множество решений с учетом финансовых материальных ресурсов
Ограничение на финансовые ресурсы задано дополнительным к системе (9) неравенством: C1x1 + C2x2 <= C.
Точка А на рис. 4 соответствует количеству сборочных единиц, обеспеченных материальными ресурсами, но не обеспеченных финансовыми ресурсами. Поэтому предприятие в состоянии выпустить сборочные единицы в количестве, соответствующем точке а, так как это количество обеспечено и материальными, и финансовыми ресурсами. Количество единиц, соответствующее любой точке на отрезке (о; а) является допустимым.
В соответствии с целевой функцией (1), задача принятия решений предприятием состоит в стремлении максимизировать величину операционного дохода путем снижения расходов на материальные ресурсы, эксплуатацию оборудования, трудовые ресурсы при выполнении всей номенклатуры сборочных единиц и ограничений (15).
С учетом (1) и (15) математическую модель задачи принятия решений предприятием представим в следующем виде:
Модель (16) характеризует поведение коллектива предприятия в стремлении получить максимальную величину операционного дохода и позволяет обосновать принятое им решение относительно выполнения количества сборочных единиц.
Сформированную модель (16) можно упростить и свести ее к одной переменной, если подставить уравнение xj = λj.y, j ∈ J в целевую функцию и в ограничения для ресурсов. В результате такой подстановки получаем следующую модель принятия решений предприятием:
Эта величина характеризует нижнюю границу количества реализации изделия заказчику, при котором обеспечивается положительность (неотрицательность) операционного дохода предприятия при условии, что имеет место обеспеченность изготовления изделий всеми другими ресурсами.
Из уравнения (19) следует, что необходимое условие положительности операционного дохода предприятия состоит в том, чтобы уровень договорной цены продукции был больше уровня прямых затрат на изготовлении одной сборочной единицы при выполнении всей номенклатуры работ, т. е. чтобы выполнялось неравенство
Таким образом, как следует из модели (20), предприятие выбирает такую величину количества изделий при заданной договорной цене на продукцию и ценах на ресурсы, которая обеспечивает максимальное значение операционного дохода. При этом процесс изготовления изделий возможен, если величина целевой функции находится в области неотрицательных ее значений.
Для определения оптимального решения запишем модель (20) в следующем виде:
Найденное в результате решения задачи (21) оптимальное значение количества изделий должно находиться на границе замкнутой области, ограниченной с одной стороны одним из дефицитных ресурсов, отношение исходного объема которого к его расходу на одно изделие является наименьшей из всех величин, а с другой стороны — величиной финансовых ресурсов от реализации изделия заказчику, покрывающих прямые и косвенные затраты при выпуске предприятием всех сборочных единиц.
Найдем графическое решение задачи (21). С геометрической точки зрения задача принятия решений, описываемая моделью (21), состоит в описании точки на допустимом множестве, в которой достигается максимальный уровень операционного дохода. Найдем графически оптимальное значение количества изделий, при котором операционный доход максимален. Для этого на графике построим прямую целевой функции и область допустимых значений количества выпускаемых изделий.
На рис.5. построено уравнение целевой функции
Рис. 5. Графическое решение задачи определения оптимального значения количества изделий
Изменение договорной цены изделия или цен, норм расхода ресурсов приводит к изменению угла α и, следовательно, оптимального количества изделий. Точка Сn на оси y соответствует количеству изделий, при котором операционный доход предприятия равен нулю, а точка Ai — количеству изделий, которое можно выполнить из ресурса i-го вида. Ресурс i-го вида является дефицитным, так как он обеспечивает минимальное количество изделий. В качестве такого ресурса может оказаться любой из материальных, энергетических ресурсов, любое из видов оборудования или трудовых ресурсов. Любая точка на отрезке (Cn; Ai) оси y соответствует допустимому количеству изделий. Отрезок (0; Зпос) на оси координат соответствует величине косвенных затрат в процессе производства. Изменение величины косвенных затрат приводит к параллельному перемещению прямой fn (y) или вверх — с их уменьшением, или вниз — с увеличением косвенных затрат. Оптимальный уровень операционного дохода fno (yo), как следует из рисунка, определяется пересечением наклонной прямой целевой функции fn (y) с вертикальной прямой y = Ai, соответствующей дефицитному ресурсу i-го вида. Выполнение оптимального количества изделий yo = Ai возможно предприятием, так как оно обеспечено и материальными, и финансовыми ресурсами.


Литература
1. Внутрифирменные механизмы бюджетного управления крупным промышленным комплексом по производству ресурсоемких изделий. Гришанов Д.Г., Гришанов Г.М, Кирилина С.А., Щелоков Д.А. — Изд-во СамНЦ РАН, Самара, 2009. — 180 с.
2. Модели формирования механизмов стимулирования и бюджетирования деятельности предприятия / В.В. Альтергот, Д.Г. Белова, Д.Г. Гришанов, Д.А. Щелоков. — Изд-во СамНЦ РАН, Самара, 2009. — 146 с.
3. Щиборщ К.В. Бюджетирование деятельности промышленных предприятий в России. — М.: Дело и сервис, 2001. — 544 с.
4. Щепкин А. В. Механизмы внутрифирменного управления. — М.: ИПУ РАН, 2001. — 80 с.
5. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. — М.: Синтег, 1999. — 108 с.

Вернуться к содержанию номера

Copyright © Проблемы современной экономики 2002 - 2020
ISSN 1818-3395 - печатная версия, ISSN 1818-3409 - электронная (онлайновая) версия